Question

（本小題滿分12分）拋物線的焦點為F，在拋物線上，且存在實數(shù)，使，

（Ⅰ）求直線AB的方程；

（Ⅱ）求△AOB的外接圓的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先求出拋物線的準線方程，根據(jù) 向量關系式

可得到A，B，F(xiàn)三點共線，再由拋物線的定義可表示出| AB|，再設直線AB方程后與拋物線方程進行聯(lián)立消去y得到關于x的方程，進而可得到兩根之和與兩根之積，代入到| AB|的表達式中可求出最后k的值，進而得到直線AB的方程．

（2）由（1）中求得的直線方程與拋物線聯(lián)立可求出A，B的坐標，然后設圓的一般式方程，用待定系數(shù)法求出D，E，F(xiàn)的值，得到答案．

解：（Ⅰ）拋物線的準線方程為．

∵，∴A，B，F(xiàn)三點共線．由拋物線的定義，得||=…1分

設直線AB：，而

由得．

∴||== ．∴．

從而，故直線AB的方程為，即

（2）由 求得A（4，4），B（，－1）

設△AOB的外接圓方程為，則

解得

故△AOB的外接圓的方程為．

考點：本試題主要考查了直線與拋物線的綜合問題．考查綜合運用能力．

點評：解決該試題的關鍵是能根據(jù)向量的工具性得到D,F,E三點共線，然后結合根與系數(shù)的關系得到參數(shù)的值。