Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)，函數(shù)f(x)=

m

.

n

．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos(

2π

3

-x)的值；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足acosC+

1

2

c=b，求f（2B）的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式求出f（x），利用二倍角公式及兩角和、差公式化簡f（x）；利用誘導(dǎo)公式將cos(

2π

3

-x)用sin(

x

2

+

x

6

)表示，求出值．
（II）利用三角形的余弦定理將已知等式中的余弦用邊表示，再次利用余弦定理求出角A，利用三角形的內(nèi)角和為π及B，C都是銳角求出B的范圍，求出f（2B）的范圍．

解答：解：f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin(

x

2

+

x

6

)+

1

2

（Ⅰ）若f（x）=1，可得sin(

x

2

+

x

6

)=

1

2

，
則cos(

2π

3

-x)=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=2sin2(

x

2

+

π

6

)-1=-  

1

2

（Ⅱ）由acosC+

1

2

c=b可得a

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b即b²+c²-a²=bc
所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

得A=

π

3

，B+C=

2π

3

又B，C均為銳角∴B∈(

π

6

，

π

2

)
∴sin(B+

π

6

)∈(

3

2

，1]
∴f(2B)=sin(B+

π

6

)+

1

2

的取值范圍是(

3 +1

2

，

3

2

]

點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、三角形的二倍角公式、和，差角公式、誘導(dǎo)公式；三角形的余弦定理．