Question

已知雙曲線C的離心率為

2

，且過(guò)點(diǎn)（4，-

10

）
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線C上，求證：MF₁⊥MF₂；
（3）求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線C的離心率為

2

，得出雙曲線為等軸雙曲線，從而設(shè)雙曲線C的方程為nx²-ny²=1利用雙曲線C過(guò)點(diǎn)（4，-

10

）即可求出n的值，最后寫(xiě)出雙曲線的方程即可．
（2）先根據(jù)點(diǎn)M（3，m）在雙曲線C上求出m值，由雙曲線的對(duì)稱性知，我們只需證明點(diǎn)M（3，

3

） 滿足MF₁⊥MF₂即可，利用向量的數(shù)量積等于0即可證得MF₁⊥MF₂；
（3）利用（2）中的數(shù)據(jù)結(jié)合三角形的面積公式即可求得△F₁MF₂的面積．

解答：解：（1）∵雙曲線C的離心率為

2

，
∴雙曲線為等軸雙曲線
∴設(shè)雙曲線C的方程為nx²-ny²=1
∵雙曲線C過(guò)點(diǎn)（4，-

10

）
∴16n-10n=1∴n=

1

6

∴

x2

6

-

y2

6

=1即為所求．
（2）∵點(diǎn)M（3，m）在雙曲線C上
∴m=±

3

由雙曲線的對(duì)稱性知，我們只需證明點(diǎn)M（3，

3

） 滿足MF₁⊥MF₂即可
∴

MF1

=(2

3

-3，-

3

），

MF2

=(-2

3

-3，-

3

）
∴

MF1

• 

MF2

=(2

3

-3)(-2

3

-3)+(-

3

)(-

3

)=0，
∴MF₁⊥MF₂；
（3）S△F1MF2=

1

2

|

MF1

||

MF2

|
=

1

2

(2 3 -3)2+(- 3 )2

•

(-2 3 -3)2+(- 3 )2

=

1

2

(24-12 3 )(24+12 3 )

=6．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、向量垂直的應(yīng)用、三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．