Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=1，，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t為正常數(shù)，n=2，3，4…）．
（1）求證：{a_n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè){a_n}公比為f（t），作數(shù)列b_n使b1=1，bn=f(

1

bn-1

)(n≥2)，試求b_n，并求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）

Answer 1

分析：（1）因為a_n=S_n-S_n-1（n≥2，n∈N^*），所以在3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t的基礎(chǔ)上，用n-1替換n構(gòu)造與它類似的關(guān)系式；然后利用作差法求出a_n與a_n-1的關(guān)系式，進而可整理為等比數(shù)列形式；但不要忘掉未含項的檢驗．
（2）由（1）知{a_n}的公比f（t），又b_n=f（

1

bn-1

），則可找到b_n與b_n-1的關(guān)系，進而可整理為等差數(shù)列形式；則由等差數(shù)列通項公式可求b_n；代數(shù)式b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1的求值，可利用分組的方法，把它轉(zhuǎn)化到等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項和公式上去，則問題解決．

解答：（1）證明：∵a₁=1，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n≥2，n∈N^*）①
∴3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n≥3，n∈N*）②
①②兩式相減得

3tan-(2t+3)an-1=0 ∴ an an-1 = 2t+3 3t (n≥3，t為正常數(shù))

又n=2時，

3t(1+a2)-(2t+3)•1=3t ∴a2= 2t+3 3t ∴ a2 a1 = 2t+3 3t

∴a_n是以1為首項，

2t+3

3t

為公比的等比數(shù)列．
（2）解：∵f(t)=

2t+3

3t

=

2+ 3 t

3

，∴bn=

2+3bn-1

3

，∴bn-bn-1=

2

3

(n≥2)
∴b_n是以1為首項，

2

3

為公差的等差數(shù)列，∴bn=

2n+1

3

∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₄）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-

4

3

(b2+b4+b2n)=-

4

3

n( 5 3 + 4n+1 3 )

2

=

-8n2-12n

9

．

點評：若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則a_n=S_n-S_n-1（n≥2，n∈N^*）是實現(xiàn)前n項和S_n向通項a_n轉(zhuǎn)化的橋梁與紐帶，進而可結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)解決問題．