Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，D₁C⊥平面ABCD，AB=1，BC=D₁C=2，E為A₁C的中點．
（1）求證：直線C₁C∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題意結合題中條件找出已知直線的中位線即證明線線平行，再說明其中一條直線在平面內(nèi)，則可證明線面平行．
（2）由其中一個平面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，再由垂足向交線作垂線，進而連線得到二面角的平面角，然后證明這個角就是二面角的平面角，最后利用解三角形的知識求出二面角即可．

解答：解：（1）連接AC，與BD交于點F，連接EF，
在矩形ABCD中，F(xiàn)為AC的中點，又E為A₁C的中點，
∴A₁A∥EF，
又在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，C₁C∥A₁A，
∴C₁C∥EF，又EF?平面BDE，C₁C?平面BDE，
∴直線C₁C∥平面BDE．
（2）連接A₁B，BD₁，∵在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁與BC平行且相等，

∴四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，則A₁C與BD₁互相平分，
∴A₁C的中點E也是BD₁的中點．取BC的中點F，連接EF，則EF∥D₁C，且EF=

1

2

D1C=1，
又D₁C⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，過點F作FG垂直BD于點G，連接EG．
根據(jù)三垂線定理有EG⊥BD，故∠EGF是二面角E-BD-C的平面角
在Rt△BCD中，sin∠DBC=

CD

BC

=

1

12+22

=

1

5

，
∴在Rt△FGB中，FG=FB•sin∠DBC=

1

5

，
∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=

EF

FG

=

1

1 5

=

5

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，正確確定幾何體中線面垂直關系與線面平行關系，進而解決問題．