Question

已知f(x)=log2

1-x

1+x

（-1＜x＜1）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）若a，b∈（-1，1），證明：f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)；
（3）證明對任意常數(shù)k∈R，f（x）=k有且僅有一解．

Answer 1

分析：（1）先求定義域，看是否關(guān)于原點對稱，再用定義判斷．
（2）若a、b∈（-1，1），先化簡f（a）+f（b），再化簡f（

a+b

1+ab

）的解析式，然后作比較發(fā)現(xiàn)是相等的式子．
（2）用單調(diào)性定義證明，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，與0比較．

解答：解：（1）f(-x)=log2

1+(-x)

1-(-x)

=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f(x)
又x∈（-1，1），所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（2）若a、b∈（-1，1），f（a）+f（b）=lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=lg

1-a-b+ab

1+a+b+ab

，
f（

a+b

1+ab

）=lg

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

1+ab-a-b

1+ab+a+b

，∴f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．
（3）設(shè)-1＜x＜1，△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=log2

1+x2

1-x2

-log2

1+x1

1-x1

=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

因為1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0所以

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1
所以 △y=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0所以函數(shù) f(x)=log2

1+x

1-x

在（-1，1）上是增函數(shù)．
從而對任意常數(shù)k∈R，f（x）=k有且僅有一解．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，證明奇偶性一般用定義，證明單調(diào)性可用定義或?qū)��?shù)法．