Question

定義：若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過變換T后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)與f（x）的值域相同，則稱變換T是f（x）的同值變換．下面給出了四個(gè)函數(shù)與對(duì)應(yīng)的變換：
（1）f（x）=（x-1）²，T₁將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
（2）f（x）=2^x-1-1，T₂將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；
（3）f（x）=

x

x+1

，T₃將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱；
（4）f（x）=sin（x+

π

3

），T₄將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱．
其中T是f（x）的同值變換的有

（1）（3）（4）

．（寫出所有符合題意的序號(hào)）

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的變換不改變函數(shù)的值域；
（2）求出函數(shù)f（x）=2^x-1-1關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)解析式，分別求出值域，即可得到結(jié)論；
（3）求出函數(shù)f（x）=

x

x+1

關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱的函數(shù)解析式，它們是同一個(gè)函數(shù)；
（4）求出函數(shù)f（x）=sin（x+

π

3

）關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱的函數(shù)解析式是y=sin（-2-x+

π

3

），求出它們的值域，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的變換不改變函數(shù)的值域，故T₁屬于f（x）的同值變換；
（2）f（x）=2^x-1-1，其值域?yàn)椋?1，+∞），將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，得到的函數(shù)解析式是y=-2^x-1+1，值域?yàn)椋?，+∞），T₂不屬于f（x）的同值變換；
（3）f（x）=

x

x+1

，將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱，得到的函數(shù)解析式是2-y=

x+2

x+1

，即y=

x

x+1

，它們是同一個(gè)函數(shù)，故T₃屬于f（x）的同值變換；
（4）f（x）=sin（x+

π

3

），將函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，得到的函數(shù)解析式是y=sin（-2-x+

π

3

），它們的值域都為[-1，1]，故T₄屬于f（x）的同值變換；
∴T是f（x）的同值變換的有（1）（3）（4）
故答案為：（1）（3）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)的圖象、函數(shù)的圖象變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．