Question

已知拋物線C:的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且.
(1)求拋物線C的方程；
(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點，若AB的垂直平分線與C相交于M,N兩點，且A,M,B,N四點在同一個圓上，求直線l的方程.

Answer 1

（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.

試題分析：（1）設(shè)Q（x₀，4），代入由中得x₀=，在根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得，解出p即可
（2）設(shè)直線l的方程為，（m≠0）代入中得，直線的方程為，將上式代入中，并整理得.A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂), M(x₃,y₃),N(x₄,y₄),根據(jù)二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁+y₂=4m，y₁y₂=－4，.然后求出MN的中點為E和AB的中點為D坐標(biāo)的表達式，計算的表達式,根據(jù)求出m即可.
試題解析：（1）設(shè)Q（x₀，4），代入由中得x₀=，
所以，由題設(shè)得，解得p=－2（舍去）或p=2.
所以C的方程為.
（2）依題意知直線l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線l的方程為，（m≠0）代入中得
，
設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),則y₁+y₂=4m，y₁y₂=－4，
故AB的中點為D（2m²+1,2m），，
有直線的斜率為－m，所以直線的方程為，將上式代入中，并整理得
.
設(shè)M(x₃,y₃),N(x₄,y₄),則.
故MN的中點為E（）.
由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四點在同一個圓上等價于,從而,即，化簡得
m²-1=0，解得m=1或m=－1，
所以所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.