Question

如圖，設(shè)橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A、B，以A為圓心，OA為半徑的圓與以B為圓心，OB為半徑的圓相交于點(diǎn)O、P．
（1）若點(diǎn)P在直線y=

3

2

x上，求橢圓的離心率；
（2）在（1）的條件下，設(shè)M是橢圓上的一動點(diǎn)，且點(diǎn)N（0，1）到橢圓上點(diǎn)的最近距離為3，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OP是圓A、圓B的公共弦，可推斷出OP⊥AB，進(jìn)而可知k_AB•k_OP=-1，進(jìn)而求得b和a的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)a2-c2=

3

4

a2求得a和c關(guān)系，求得離心率．
（2）把點(diǎn)M代入橢圓方程，進(jìn)而根據(jù)（1）中a和b的關(guān)系，表示出|MN|，進(jìn)而看當(dāng)a≥4和0＜a＜4，分別求得函數(shù)取最小值時，求得a，則b可求，橢圓的方程可得．

解答：解：（1）因OP是圓A、圓B的公共弦，
所以O(shè)P⊥AB，即k_AB•k_OP=-1，
所以kAB=-

2

3

，又kAB=-

a

b

，
所以b2=

3

4

a2，
所以a2-c2=

3

4

a2?e=

c

a

=

1

2

；
（2）由（1）有b2=

3

4

a2，
所以此時所求橢圓方程為

y2

a2

+

4x2

3a2

=1，
設(shè)M（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，
則|MN|²=x²+（y-1）²
=

3

4

a2-

3

4

y2+y2-2y+1=

1

4

(y-4)2-3+

3

4

a2，
其中-a≤y≤a，
1°若0＜a＜4時，則當(dāng)y=a時，|MN|²有最小值a²-2a+1，
由a²-2a+1=9得a=-2或a=4（都舍去）；
2°若a≥4時，則當(dāng)y=4時，|MN|²有最小值

3

4

a2-3，
由

3

4

a2-3=9得a=±4（舍去負(fù)值）即a=4；
綜上所述，所求橢圓的方程為

y2

16

+

x2

12

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．應(yīng)熟練掌握橢圓方程中，a，b和c關(guān)系，做題時才能游刃有余．