Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)，a＞0）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為 ． （Ⅰ）設(shè)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)a=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值；
（Ⅱ）若曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，

化成直角坐標(biāo)方程，得 ，即直線l的方程為x﹣y+4=0．

依題意，設(shè)P（2cost，2sint），則P到直線l的距離 ，

當(dāng) ，即 時(shí)， ．

故點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為 ．

（Ⅱ）∵曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，∴對(duì)t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，

即 （其中 ）恒成立，∴ ，又a＞0，解得 ，

故a的取值范圍為 ．

【解析】（Ⅰ）求出直線的普通方程，設(shè)P（2cost，2sint），則P到直線l的距離 ，即可求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值；（Ⅱ）若曲線C上的所有點(diǎn)均在直線l的右下方，則對(duì)t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即 （其中 ）恒成立，即可求a的取值范圍．