Question

雙曲線x²-y²=1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線左支上位于x軸上方的任一點(diǎn)，則直線PF的斜率的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，0]∪[1，+∞）

B．（-∞，0）∪（1，+∞）

C．（-∞，-1）∪[1，+∞）

D．（-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線方程，得到a²=1，b²=1，所以c=

2

，得左焦點(diǎn)為F（-

2

，0）．再設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），可得x₀²-y₀²=1，且x₀＜-1，y₀＞0，根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的斜率公式，得到PF的斜率關(guān)于x₀、y₀的表達(dá)式，化簡得：KPF=

-sinθ

1+ 2 cosθ

，最后利用換元的方法，結(jié)合用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得直線PF的斜率的取值范圍．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），根據(jù)點(diǎn)P是雙曲線左支上位于x軸上方的點(diǎn)，可得
x₀²-y₀²=1，且x₀＜-1，y₀＞0
雙曲線x²-y²=1中，a²=1，b²=1
∴c=

a2+b2

=

2

，得左焦點(diǎn)為F（-

2

，0）
因此直線PF的斜率為KPF=

y0

x0+ 2

=

y02

x0+ 2

=

x02-1

x0+ 2

換元：設(shè)x0=

1

cosθ

，因?yàn)閤₀＜-1，所以θ∈（

π

2

，π）且θ≠

3π

4

∴KPF=

-tanθ

1 cosθ + 2

=

-sinθ

1+ 2 cosθ

=f（θ）
∵f'（θ）=(

-sinθ

1+ 2 cosθ

)/=

-cosθ- 2

(1+ 2 cosθ)2

＜0恒成立，
∴f（θ）在（

π

2

，

3π

4

）和（

3π

4

，π）上都是減函數(shù)
當(dāng)θ∈（

π

2

，

3π

4

）時，f（θ）＜f（

π

2

）=-1；
當(dāng)θ∈（

3π

4

，π）時，f（θ）＞f（π）=0
∴K_PF＜-1或K_PF＞0
故選D

點(diǎn)評：本題借助于雙曲線中的一條動直線的斜率取值范圍問題，著重考查了雙曲線的簡單性質(zhì)和函數(shù)的值域與最值等知識點(diǎn)，屬于中檔題．本題也可以用圖象觀察的方法得到答案，而題中給出的過程是這個結(jié)論的函數(shù)理論解釋．