Question

（本題滿分18分；第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）

設數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，若數(shù)列中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.

（1）若，判斷該數(shù)列是否為“封閉數(shù)列”，并說明理由？

（2）設是數(shù)列的前項和，若公差，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使；若存在，求的通項公式，若不存在，說明理由；

（3）試問：數(shù)列為“封閉數(shù)列”的充要條件是什么？給出你的結論并加以證明.

Answer 1

略

解析:

（1）數(shù)列是“封閉數(shù)列”，因為：，------------1分

對任意的，有

，---------------------------------------------3分

于是，令，則有-------------------------4分

（2）解：由是“封閉數(shù)列”，得：對任意，必存在使

成立，----------------------------------------------------5分

于是有為整數(shù)，又是正整數(shù)。-------------------------------6分

若則，所以，-----------------------7分

若，則，所以，------------------------8分

若，則，于是

，所以，------------------------------------------9分

綜上所述，，顯然，該數(shù)列是“封閉數(shù)列”。---------------- 10分

（3）結論：數(shù)列為“封閉數(shù)列”的充要條件是存在整數(shù)，使.----12分

證明：（必要性）任取等差數(shù)列的兩項，若存在使，則

故存在，使，---------------------------------------------------------14分

下面證明。當時，顯然成立。

對，若，則取，對不同的兩項，存在使，

即，這與矛盾，

故存在整數(shù)，使。------------------------------------------------------------------16分

（充分性）若存在整數(shù)使，則任取等差數(shù)列的兩項，于是

由于為正整數(shù)，證畢.----------------------18分