Question

某公司在招聘員工時(shí)，要進(jìn)行筆試，面試和實(shí)習(xí)三個(gè)過(guò)程．筆試設(shè)置了3個(gè)題，每一個(gè)題答對(duì)得5分，否則得0分．面試則要求應(yīng)聘者回答3個(gè)問題，每一個(gè)問題答對(duì)得5分，否則得0分．并且規(guī)定在筆試中至少得到10分，才有資格參加面試，而筆試和面試得分之和至少為25分，才有實(shí)習(xí)的機(jī)會(huì)．現(xiàn)有甲去該公司應(yīng)聘，假設(shè)甲答對(duì)筆試中的每一個(gè)題的概率為

3

4

，答對(duì)面試中的每一個(gè)問題的概率為

1

2

．
（1）求甲獲得實(shí)習(xí)機(jī)會(huì)的概率；
（2）設(shè)甲在去應(yīng)聘過(guò)程中的所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知甲獲得實(shí)習(xí)機(jī)會(huì)需要筆試和面試得分之和至少為25分，包括兩種情況：一是筆試和面試得分之和為25分；二是筆試和面試得分之和為30分，這兩種情況是互斥的，做出概率．
（2）甲在去應(yīng)聘過(guò)程中的所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量ξ，ξ的取值為0，5，10，15，20，25，30．結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式寫出它們的分布列，算出期望．

解答：解：（1）∵由題意知甲獲得實(shí)習(xí)機(jī)會(huì)需要筆試和面試得分之和至少為25分，
包括兩種情況：一是筆試和面試得分之和為25分；二是筆試和面試得分之和為30分，這兩種情況是互斥的
筆試和面試得分之和為25分的概率為p1=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

3 3

×(

1

2

)3+

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

2 3

×(

1

2

)2×

1

2

=

27

128

，
筆試和面試得分之和為30分的概率為p1=

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

3 3

×(

1

2

)3=

27

512

，
∴甲獲得實(shí)習(xí)機(jī)會(huì)的概率為p=p1+p2=

27

128

+

27

512

=

135

512

．
（2）ξ的取值為0，5，10，15，20，25，30．
p(ξ=0)=

C

3 3

×(

1

4

)3=

1

64

，
p(ξ=5)=

C

1 3

×

3

4

×(

1

4

)2=

9

64

，
p(ξ=10)=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

0 3

×(

1

2

)3=

27

512

，
p(ξ=15)=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

1 3

×(

1

2

)3+

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

0 3

×(

1

2

)3=

108

512

，p(ξ=20)=

C

2 3

×(

3

4

)2×

1

4

×

C

2 3

×(

1

2

)3+

C

3 3

×(

3

4

)3×

C

1 3

×(

1

2

)3=

162

512

，
由（1）知p(ξ=25)=

108

512

，
p(ξ=30)=

27

512

．
∴Eξ=0×

1

64

+5×

9

64

+10×

27

512

+15×

108

512

+20×

162

512

+25×

108

512

+30×

27

512

=

1125

64

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布列和期望問題，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望是近年來(lái)理科高考必出的一個(gè)問題，題目做起來(lái)不難，運(yùn)算量也不大，是可以得滿分的一道題目．