Question

【題目】已知點(diǎn)是橢圓： 上的一點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)互不重合．

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：直線， 的斜率之和為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的定義可求得，然后可得，可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，將此方程代入橢圓方程可得整理得，設(shè)， ，由根與系數(shù)的關(guān)系可得， ，然后由斜率公式可得，即可得到結(jié)論。

試題解析：

（1）由題意得橢圓的左焦點(diǎn)為。

由橢圓定義可得

，

解得，

∴，

所以橢圓的方程為．

（2）證明：設(shè)直線的方程為，

又， ， 三點(diǎn)不重合，故。

由消去y整理得，

∵直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，

∴，

解得

設(shè)， ，

則，① ，②

設(shè)直線， 的斜率分別為， ，

則 （），

分別將①②式代入（），得

，

所以，

即直線， 的斜率之和為定值．