Question

（2013•保定一模）設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，M，N分別為其短釉的兩個(gè)端點(diǎn)，且四邊形MF₁NF₂的周長(zhǎng)為4設(shè)過(guò)F₁的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=

4

3

．
（1）求|AF₂|•|BF₂|的最大值；
（2）若直線l的傾斜角為45°，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義，結(jié)合四邊形的周長(zhǎng)，及|AB|的長(zhǎng)，利用基本不等式，即可求|AF₂|•|BF₂|的最大值；
（2）設(shè)出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及|AB|的長(zhǎng)，求出直線方程，即可求△ABF₂的面積．

解答：解：（1）∵四邊形MF₁NF₂為菱形，周長(zhǎng)為4，∴a=1
由橢圓的定義可知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a=4，
∵|AB|=

4

3

，∴|AF₂|+|BF₂|=

8

3

∴|AF₂|•|BF₂|≤(

|AF2|+|BF2|

2

)2=

16

9

當(dāng)且僅當(dāng)|AF₂|=|BF₂|=

4

3

時(shí)，等號(hào)成立，即|AF₂|•|BF₂|的最大值為

16

9

；
（2）∵直線l的傾斜角為45°，∴可設(shè)l的方程為y=x+c，其中c=

1-b2

由（1）知橢圓E的方程為x2+

y2

b2

=1
直線方程代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-2c

1+b2

，x₁x₂=

1-2b2

1+b2

∵|AB|=

2

|x₁-x₂|=

4

3

∴

8

9

=(

-2c

1+b2

)2-4×

1-2b2

1+b2

∴b2=

1

2

∴c=

2

2

∴l(xiāng)的方程為y=x+

2

2

∴F₂到l的距離d=1
∴S△ABF2=

1

2

|AB|×1=

1

2

×

4

3

×1=

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義，考查基本不等式的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．