Question

下列命題：
（1）若x²+y²=0（x，y∈C），其中C為復(fù)數(shù)集，則xy=0；
（2）命題“若a=0，則ab=0”的否命題是：“若a≠0，則ab≠0”
（3）半徑為2，圓心角的弧度數(shù)為

1

2

的扇形面積為

1

2

；
（4）若α、β為銳角，tan(α+β)=

1

2

，tanβ=

1

3

，則α+2β=

π

4

；其中真命題的序號是

（2）（4）

．

Answer 1

分析：（1）說明若x²+y²=0（x，y∈C），其中C為復(fù)數(shù)集，則xy=0不成立，只要在復(fù)數(shù)集中找到x、y的值，使x²+y²=0，xy≠0即可；
（2）把已知的命題的條件和結(jié)論分別否定作為條件和結(jié)論，即可得到原命題的否命題；
（3）先由弧長公式l=r•|α|求得弧長，再運用面積公式S=

1

2

l•r求出面積；
（4）根據(jù)給出的α、β為銳角，結(jié)合tan(α+β)=

1

2

，tanβ=

1

3

求出α+2β的一個較小的范圍，然后利用拆角的方法把α+2β拆為（α+β）+β，再利用和角的正切求tan（α+2β），最后結(jié)合角的范圍求出α+2β．

解答：解：（1）若x，y∈C，其中C為復(fù)數(shù)集，則當(dāng)x=1，y=i時有x²+y²=1²+i²=1-1=0，此時xy=i．
所以，若x²+y²=0（x，y∈C），其中C為復(fù)數(shù)集，則xy=0不正確．即（1）不正確；
（2）命題“若a=0，則ab=0”的否命題是：“若a≠0，則ab≠0”．所以（2）正確；
（3）半徑為2，圓心角的弧度數(shù)為

1

2

的扇形的弧長為l=2×

1

2

=1，所以其面積為S=

1

2

×1×2=1．
所以半徑為2，圓心角的弧度數(shù)為

1

2

的扇形面積為

1

2

不正確，即（3）不正確；
（4）因為α、β為銳角，且tan(α+β)=

1

2

，tanβ=

1

3

，則0＜α+β＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，
所以0＜α+2β＜π．
又tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)•tanβ

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1．
所以，則α+2β=

π

4

．
則命題（4）正確．
故答案為（2）（4）．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了特值驗證思想，要說明一個命題為假命題，只要能舉出一個反例即可，判斷命題（4）時運用了拆角技巧，同時考查了角范圍的確定，若該命題不把角的范圍有效縮小，而是只以α，β為銳角來處理，將會得到錯誤的答案，此題是中檔題．