Question

設(shè)圓C的圓心在直線3x+y-7=0上，且圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)（3，-1）．
（1）求圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線3x+4y-25=0上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心C坐標(biāo)為（a，7-3a），則由圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)（3，-1）可得 a²+（7-3a）²=（a-3）²+（7-3a+1）²=r²．解得a的值，可得圓心的坐標(biāo)和半徑r，從而求得所求的圓的方程．
（2）求得圓心C（2，1）到直線3x+4y-25=0的距離為 d=3＞r，可得|PQ|的最小值為 d-r，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)圓心C坐標(biāo)為（a，7-3a），則由圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)（3，-1）可得 a²+（7-3a）²=（a-3）²+（7-3a+1）²=r²．
解得a=2，故圓心的坐標(biāo)為（2，1），半徑r=

5

，故所求的圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）由于圓心C（2，1）到直線3x+4y-25=0的距離為 d=

|6+4-25|

9+16

=3＞r，
故|PQ|的最小值為 d-r=3-

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．