Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，并且對于任意n∈N^*，都有a_n+1=

an

2an+1

．
證明：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：對于a_n+1=

an

2an+1

，兩邊取倒數(shù)得

1

an+1

=

1

an

+2，即可證明和求出結(jié)論．

解答：解：∵a₁=1≠0，∴a_n≠0．
由對于任意n∈N^*，都有a_n+1=

an

2an+1

，兩邊取倒數(shù)得

1

an+1

=

1

an

+2，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+2(n-1)，化為an=

1

2n-1

．（n∈N^*）．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式an=

1

2n-1

．（n∈N^*）．

點評：根據(jù)遞推關(guān)系式的特點，利用兩邊取倒數(shù)法是解題的關(guān)鍵．