Question

已知函數(shù).
（1）若，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；
（2）若定義在上奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，求在上的反函數(shù)；
（3）對于（2）中的，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）這實(shí)質(zhì)上是解不等式，即，但是要注意對數(shù)的真數(shù)要為正，，；（2）上奇函數(shù)滿足，可很快求出，要求在上的反函數(shù)，必須求出在上的解析式，根據(jù)的定義，在上也應(yīng)該是一個(gè)分段函數(shù)，故我們必須分別求出表達(dá)式，然后分別求出其反函數(shù)的表達(dá)式；（3）根據(jù)已知可知是周期為4的周期函數(shù)，不等式在上恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題，一般要研究函數(shù)的的單調(diào)性，利用單調(diào)性，可直接去掉函數(shù)符號(hào)，由已知，我們可得出在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，而可無限趨近于，因此時(shí)，題中不等式恒成立，就等價(jià)于，現(xiàn)在我們只要求出的范圍，而要求的范圍，只要按的正負(fù)分類即可．
試題解析：（1）原不等式可化為    1分
所以，，        1分
得                2分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031505491490.png" style="vertical-align:middle;" />是奇函數(shù)，所以，得    1分
①當(dāng)時(shí)，
            1分
此時(shí)，，所以     1分
②當(dāng)時(shí)，，   1分
此時(shí)，，所以   1分
綜上，在上的反函數(shù)為       1分
（3）由題意，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，
當(dāng)，，在上也是增函數(shù)，
所以在上是增函數(shù)，              2分
設(shè)，則
由，得
所以在上是減函數(shù)，      2分
由的解析式知     1分
設(shè)
①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031507035803.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即；
②當(dāng)時(shí)，，滿足題意；
③當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031507269790.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為               3分