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        1. 在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上(如圖),且OC=1,OA=a+1(a>1),點D在邊OA上,滿足OD=a.分別以OD、OC為長、短半軸的橢圓在矩形及其內(nèi)部的部分為橢圓弧CD.直線l:y=-x+b與橢圓弧相切,與OA交于點E.
          (1)求證:b2-a2=1;
          (2)設直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分,求直線l的方程;
          (3)在(2)的條件下,設圓M在矩形及其內(nèi)部,且與l和線段EA都相切,求面積最大的圓M的方程.
          分析:(1)設橢圓的方程為
          x2
          a2
          +y2=1
          .由
          x2
          a2
          +y2=1
          y=-x+b 
          得(1+a2)x2-2a2bx+a2(b2-1)=0.由于直線l與橢圓相切,知△=(-2a2b)2-4a2(1+a2) (b2-1)=0,由此能夠證明b2-a2=1.
          (2)由題意知A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),于是OB的中點為(
          a+1
          2
          ,  
          1
          2
          )
          .因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分,所以l過點(
          a+1
          2
          ,  
          1
          2
          )
          ,由此能求出直線l的方程.
          (3)由E(
          5
          3
          ,  0),  A(
          7
          3
          ,  0)
          .因為圓M與線段EA相切,所以可設其方程為(x-x02+(y-r)2=r2(r>0).再由圓M在矩形及其內(nèi)部和圓M與 l相切,且圓M在l上方,能夠求出面積最大的圓M的方程.
          解答:證明:(1)題設橢圓的方程為
          x2
          a2
          +y2=1
          .…(1分)
          x2
          a2
          +y2=1
          y=-x+b 
          消去y得(1+a2)x2-2a2bx+a2(b2-1)=0.…(2分)
          由于直線l與橢圓相切,故△=(-2a2b)2-4a2(1+a2) (b2-1)=0,
          化簡得b2-a2=1.①…(4分)
          解:(2)由題意知A(a+1,0),B(a+1,1),C(0,1),
          于是OB的中點為(
          a+1
          2
          ,  
          1
          2
          )
          .…(5分)
          因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分,所以l過點(
          a+1
          2
          ,  
          1
          2
          )
          ,
          即f(x),亦即2b-a=2.②…(6分)
          由①②解得a=
          4
          3
          ,  b=
          5
          3
          ,故直線l的方程為y=-x+
          5
          3
          .…(8分)
          解:(3)由(2)知E(
          5
          3
          ,  0),  A(
          7
          3
          ,  0)

          因為圓M與線段EA相切,所以可設其方程為(x-x02+(y-r)2=r2(r>0).…(9分)
          因為圓M在矩形及其內(nèi)部,所以
          0<r≤
          1
          2
          x0
          5
          3
           
          x0+r≤
          7
          3
          ④…(10分)
          圓M與 l相切,且圓M在l上方,所以
          3(x0+r)-5
          3
          2
          =r
          ,即3(x0+r)=5+3
          2
          r

          …(12分)
          代入④得
          0<r≤
          1
          2
          5+3(
          2
          -1)r
          3
          5
          3
                
          5+3
          2
          r
          3
          7
          3
          ,             
          0<r≤
          2
          3
          .…(13分)
          所以圓M面積最大時,r=
          2
          3
          ,這時,x0=
          7-
          2
          3

          故圓M面積最大時的方程為(x-
          7-
          2
          3
          )2+(y-
          2
          3
          )2=
          2
          9
          .…(15分)
          點評:本題主要考查橢圓標準方程,簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的簡單性質(zhì)等基礎知識.考查運算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.本題綜合性強,是高考的重點,易錯點是知識體系不牢固.
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          2
          的圓C經(jīng)過坐標原點O,橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          9
          =1(a>0)
          與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
          (1)求圓C的方程;
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          3
          5
          ,點B的縱坐標是
          12
          13
          ,則sin(α+β)的值是
          16
          65
          16
          65

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          在平面直角坐標系xOy中,若焦點在x軸的橢圓
          x2
          m
          +
          y2
          3
          =1
          的離心率為
          1
          2
          ,則m的值為
          4
          4

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          3t
          ,0)
          ,其中t≠0.設直線AC與BD的交點為P,求動點P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
          1
          2

          (1)求橢圓C的方程;
          (2)設橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
          (3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
          16
          7
          相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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