Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)于任意n∈N^*，且n≥2，3S_n-4，a_n，2-

3

2

S_n-1總成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=3S_n，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，2a_n=3S_n-2-

3

2

S_n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n+1=3S_n+1-2-

3

2

S_n，兩式相減可得a_n與a_n+1的遞推公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（II）由（I）可求b_n，然后結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解

解答：解：（I）∵n≥2，3S_n-4，a_n，2-

3

2

S_n-1總成等差數(shù)列
∴2a_n=3S_n-2-

3

2

S_n-1，
∵a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n+1=3S_n+1-2-

3

2

S_n，
兩式相減可得，2a_n+1-2a_n=3a_n+1-

3

2

an
即an+1=-

1

2

an，a1=-

1

2

∴數(shù)列{a_n}是以-

1

2

為首項(xiàng)，以-

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴an=(-

1

2

)n
（II）由（I）可得Sn=

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=

(- 1 2 )n-1

3

∴b_n=3S_n=(-

1

2

)n-1
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=-

1

2

+

1

4

-

1

8

+…+(-

1

2

)n-n
=

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

-n
=

(- 1 2 )n-1

3

-n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，無(wú)窮遞縮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限，屬于中檔題．