Question

【題目】已知圓C的參數方程為 （θ為參數），若P是圓C與x軸的交點，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設過點P的圓C的切線為l （Ⅰ）求直線l的極坐標方程
（Ⅱ）求圓C上到直線ρ（cosθ+ sinθ）+6=0的距離最大的點的直角坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圓C的參數方程為 （θ為參數），

∴圓C的參數方程消去參數θ，得圓C的普通方程為（x﹣1）2+（y﹣ ）2=4，

∵P是圓C與x軸的交點，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設過點P的圓C的切線為l

由題設知，圓心C（1， ），P（2，0），

∠CPO=60°，故過P點的切線的傾斜角為30°，

設M（ρ，θ）是過P點的圓C的切線上的任一點，

則在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°﹣θ，∠OPM=150°，

由正弦定理得 ，

∴ ，

∴直線l的極坐標方程為ρcos（θ+60°）=1．

（Ⅱ）∵直線ρ（cosθ+ sinθ）+6=0，

∴直線的直角坐標方程為x+ y+6=0，

設圓上的點M（1+2cosθ， ），

點M到直線的距離：

d= = ，

∴當θ= 時，點M到直線的距離取最大值 ．此時M（2，2 ），

∴圓C上到直線ρ（cosθ+ sinθ）+6=0的距離最大的點的直角坐標為（2，2 ）．

【解析】（Ⅰ）圓C的參數方程消去參數θ，得圓C的普通方程為（x﹣1）2+（y﹣ ）2=4，由題設知，圓心C（1， ），P（2，0），過P點的切線的傾斜角為30°，設M（ρ，θ）是過P點的圓C的切線上的任一點，由正弦定理得 ，由此能求出直線l的極坐標方程．（Ⅱ）直線的直角坐標方程為x+ y+6=0，設圓上的點M（1+2cosθ， ），求出點M到直線的距離d= ，當θ= 時，點M到直線的距離取最大值，由此能求出圓C上到直線ρ（cosθ+ sinθ）+6=0的距離最大的點的直角坐標．