Question

選修4-5：不等式選講
已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：（

a

+

b

+

c

）（

a

a

+

b

b

+

c

c

）≥9．

Answer 1

分析：根據(jù)題中條件：“由于a＞0，b＞0，c＞0，”設(shè)

a

=x，

b

=y，

c

=z，利用三維的基本不等式即得：（x+y+z）（

1

x

+

1

y

+

1

z

）≥(3

3	x•y•z

)(3

3	1 x • 1 y • 1 z

)=9．

解答：證明：由于a＞0，b＞0，c＞0，設(shè)

a

=x，

b

=y，

c

=z，得x＞0，y＞0，z＞0．
（x+y+z）（

1

x

+

1

y

+

1

z

）≥(3

3	x•y•z

)(3

3	1 x • 1 y • 1 z

)=9．
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)等號(hào)成立．
即（

a

+

b

+

c

）（

a

a

+

b

b

+

c

c

）≥9，
當(dāng)且僅當(dāng)

a

=

b

=

c

時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式、一般形式的柯西不等式，屬于基礎(chǔ)題，解答的關(guān)鍵是需要同學(xué)們對(duì)兩種不等式非常熟練．