Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB=BC，AD是BC邊上的高，AE是⊙O的直徑．
（Ⅰ）求證AC•BC=AD•AE：；
（Ⅱ）過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點F，若AF=2，CF=4，求AC的長．

Answer 1

分析：（I）如圖所示，連接BE．由于AE是⊙O的直徑，可得∠ABE=90°．利用∠E與∠ACB都是

AB

所對的圓周角，可得∠E=∠ACB．進而得到△ABE∽△ADC，即可得到．
（II）利用切割線定理可得CF²=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得

AF

FC

=

AC

BC

，即可得出．

解答：（I）證明：如圖所示，連接BE．
∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°．
又∠E與∠ACB都是

AB

所對的圓周角，∴∠E=∠ACB．
∵AD⊥BC，∠ADC=90°．
∴△ABE∽△ADC，∴

AB

AD

=

AE

AC

，∴AB•AC=AD•AE．
又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．
（II）∵CF是⊙O的切線，∴CF²=AF•BF，
∵AF=2，CF=4，∴4²=2BF，解得BF=8．
∴AB=BF-AF=6．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，
∴

AF

FC

=

AC

BC

，∴AC=

AF•BC

CF

=3．

點評：本題考查了圓的性質(zhì)、三角形相似、切割線定理，屬于中檔題．