Question

已知函數(shù)f(x)=

kx+k(1-a2)                      (x≥0) x2+(a2-4a)x+(3-a)2       (x＜0)

，其中a∈R，若對(duì)任意的非零的實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零的實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，則k的最小值為（　　）

• A．-

  1

  15

• B．5
• C．6
• D．8

Answer 1

分析：由于函數(shù)f（x）是分段函數(shù)，且對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0時(shí)，f（x）=k（1-a²），進(jìn)而得到，關(guān)于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有實(shí)數(shù)解，即得△≥0，解出k即可．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

kx+k(1-a2)                      (x≥0) x2+(a2-4a)x+(3-a)2       (x＜0)

，其中a∈R，
∴x=0時(shí)，f（x）=k（1-a²），
又由對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
∴函數(shù)必須為連續(xù)函數(shù)，即在x=0附近的左右兩側(cè)函數(shù)值相等，
易知，k≤0時(shí)，結(jié)合圖象可知，不符合題意，
∴k＞0，且（3-a）²=k（1-a²），即（k+1）a²-6a+9-k=0有實(shí)數(shù)解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k＜0或k≥8，
又∵k＞0，
∴k的取值范圍為[8，+∞），
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，通過圖象比較函數(shù)值的大小，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法有助于我們的解題，更形象直觀．屬于中檔題．