Question

已知橢圓的焦距為，過(guò)右焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程.
（2）設(shè)斜率為的直線(xiàn)與相交于、兩點(diǎn)，記面積的最大值為，證明：.

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）利用題干中的已知條件分別求出、、，從而寫(xiě)出橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，并求出原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，然后以為底邊，為高計(jì)算的面積，利用基本不等式驗(yàn)證時(shí)和時(shí)的最大面積與，從而證明題中的結(jié)論.
試題解析：（1）由題意，得橢圓的半焦距，右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，
所以直線(xiàn)的斜率為，
解得，
由，得，
所以橢圓W的方程為；
（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中或，，.
由方程組得，
所以，（*）
由韋達(dá)定理，得，.
所以.
因?yàn)樵�點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，
所以，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ce/d/kmrjj.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值，
驗(yàn)證知（*）成立；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1a/b/rd10z1.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值；
驗(yàn)證知（*）成立.
所以.
注：本題中對(duì)于任意給定的，的面積的最大值都是.
考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.弦長(zhǎng)公式；2.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；4.基本不等式