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        1. (2005全國(guó)Ⅱ,20)如下圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PDE、F分別為CDPB的中點(diǎn).

          (1)求證:EF⊥平面PAB;

          (2)設(shè)AB=BC,求AC與平面AEF所成的角的大。

          答案:略
          解析:

          解析:(1)證明:如下圖,連結(jié)EP,∵PD⊥底面ABCD,DE在平面ABCD內(nèi).∴PDDE.又CE=ED,PD=AD=BC.∴RtBCERtPDE.∴PE=BE

          FPB中點(diǎn).

          EFPB

          由垂線定理得PAAB

          ∴在RtPABPF=AF

          PE=BE=EA

          ∴△EFP≌△EFA

          EFFA

          PB、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線,∴EF⊥平面PAB

          (2)不妨設(shè)BC=1,則AD=PD=1,AB=PA=,AC=

          ∴△PAB為等腰直角三角形,且PB=2,F為其斜邊中點(diǎn),BF=1.且AFPB

          PB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直,

          PB⊥平面AEF

          連結(jié)BEACG,作GHBPEFH,則GH⊥平面AEF.∠GAHAC與平面AEF所成的角.

          由△EGC∽△BGA可知

          ,,

          由△EGH∽△EBF可知

          AC與面AEF所成的角為arcsin


          提示:

          剖析:本題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)、及思維能力和空間想象能力.考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.


          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)證明:AB⊥平面VAD

          (2)求面VAD與面VDB所成的二面角的大。

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          【練40】(1)(2005全國(guó)卷Ⅲ)△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知a,b,c成等比數(shù)列,且cosB=。(1)求cotA+cotC的值;(2)設(shè),求的值。

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