Question

【題目】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．

（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】(1) C= (2) △ABC的周長為+

【解析】試題分析：（1）由正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理化簡已知可得2cosCsinC=sinC，結合范圍C∈（0，π），解得cosC=，可得C的值．（2）由三角形的面積公式可求ab=3，利用余弦定理解得a+b的值，即可得解△ABC的周長．

解析：

（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0

利用正弦定理化簡得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，

即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC,2cosCsinC=sinC

∴cosC=，∴C=

（Ⅱ）由余弦定理得3=a2+b2﹣2ab，

∴（a+b）2﹣3ab=3，

∵S= absinC= ab=， ∴ab=16，

∴（a+b）2﹣48=3，∴a+b=，

∴△ABC的周長為+ .