Question

已知向量

OP

=(2cosx+1，cos2x-sinx+1)，

OQ

=(cosx，-1)，定義f(x)=

OP

•

OQ

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積，求出f（x）的表達(dá)式，然后化簡為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）結(jié)合（1）利用正弦函數(shù)的有界性，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的集合．

解答：解：（1）f（x）=

OP

•

OQ

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1）•（cosx，-1）=2cos²x+cosx-cos2x+sinx-1…（2分）
=cos+sinx…（4分）
=

2

sin(x+

π

4

)…（6分）
令2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

．
所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z．…（9分）
（2）函數(shù)f（x）的最大值是

2

，此時(shí)x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

4

．
所以，函數(shù)f（x）取得最大值

2

時(shí)的x的取值集合為{x|x=2kπ+

π

4

，k∈Z}．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值，考查學(xué)生計(jì)算能力，是中檔題．