Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：2x²-y²=1。
（1）設(shè)F是C的左焦點(diǎn)，M是C右支上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）過(guò)C的左焦點(diǎn)作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；
（3）設(shè)斜率為k（）的直線l交C于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x²+y²=1相切，求證：OP⊥OQ。

Answer 1

解：（1）雙曲線C₁：的左焦點(diǎn)F（-），設(shè)M（x，y），
則|MF|²=（x+）²+y²，
由M點(diǎn)是右支上的一點(diǎn)，可知x≥，
所以|MF|==2，得x=，
所以M（）。
（2）左頂點(diǎn)A（-），漸近線方程為：y=±x
過(guò)A與漸近線y=x平行的直線方程為y=（x+），即y=，
所以，解得
所以所求平行四邊形的面積為S=。
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，因直線PQ與已知圓相切，故，
即b²=k²+1…①，
由，得（2-k²）x²-2bkx-b²-1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）
所以=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²==
由①式可知，故PO⊥OQ。