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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          


          
	
          
			
          

			
          
				設(shè)f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
          f(x1)
          f(x2)
          +
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          ≤2          ，則關(guān)于函數(shù)f（x）有
          （1）對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
          （2）對任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
          （3）對任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）＜f（x2）；
          （4）對任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），
          上述四個(gè)命題中正確的有
           
          ．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：觀察四個(gè)命題（1）（2）兩個(gè)不能同時(shí)成立，（3）（4）兩個(gè)不能同時(shí)成立，對于命題（1）（2）可采取令x1=x，x2=1-x，即可得到
          f(x)
          f(1-x )
          +
          f(1-x )
          f(x )
          ≥2          結(jié)合已知條件②即可得到（2）是正確的；對于（3）（4）對條件
          f(x1)
          f(x2)
          +
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          ≤2          中的兩個(gè)變量x1，x2交換位置可得
          f(x2)
          f(x1)
          +
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          ≤2          兩式相加即可得到結(jié)論．
          解答：解：由于命題（1）（2）兩個(gè)不能同時(shí)成立，（3）（4）兩個(gè)不能同時(shí)成立，
          對于命題（1）（2），令x1=x，x2=1-x，結(jié)合①則有
          f(x)
          f(1-x )
          +
          f(1-x )
          f(x )
          ≥2          ，等號當(dāng)
          f(x)
          f(1-x )
          =
          f(1-x )
          f(x )
          時(shí)成立
          又由②知
          f(x)
          f(1-x )
          +
          f(1-x )
          f(x )
          ≤2          ，由此知
          f(x)
          f(1-x )
          =
          f(1-x )
          f(x )
          =1，即f（x）=f（1-x），故（2）對；
          對于（3）（4），將②中的變量x1，x2交換位置可得
          f(x2)
          f(x1)
          +
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          ≤2
          故有
          f(x2)
          f(x1)
          +
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          +
          f(x1)
          f(x2)
          +
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          ≤4          等號當(dāng)且僅當(dāng)
          f(x2)
          f(x1)
          =
          f(x1)
          f(x2)
          =1，
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          =
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          =1時(shí)成立
           又由①即基本不等式知
          f(x2)
          f(x1)
          +
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          +
          f(x1)
          f(x2)
          +
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          ≥4          等號當(dāng)且僅當(dāng)
          f(x2)
          f(x1)
          =
          f(x1)
          f(x2)
          =1，
          f(1-x2)
          f(1-x1)
          =
          f(1-x1)
          f(1-x2)
          =1時(shí)成立
          故有
          f(x2)
          f(x1)
          =
          f(x1)
          f(x2)
          =1，即對任意x1，x2∈（0，1），都有f（x1）=f（x2），（4）正確
          綜上知（2）（4）正確．
          故答案為（2）（4）．
          點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等號成立的條件找到命題正確判斷的依據(jù)，本題較抽象，要求解題者構(gòu)造證明問題的意識要強(qiáng)．入手難，難度較大．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=
          12
          對稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          例2．設(shè)f（x）是定義在[-3，
          		2
          ]上的函數(shù)，求下列函數(shù)的定義域（1）y=f(
          		x
          -2)          （2）y=f(
          x
          a
          )(a≠0)
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，而當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）=-x2+4x-4．
          （Ⅰ）求f（x）的解析式；
          （Ⅱ）對任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|；
          （Ⅲ）對任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|≤1．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間（-2，1]上的圖象，則f（2013）+f（2014）=（　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•內(nèi)江一模）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（
          1
          2
          ）x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是
          （
          34
          ，2）
          （
          34
          ，2）
          ．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案