Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax+b．
（Ⅰ）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=-e²時(shí)，若f（x）在R上有2個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）得到其定義域，由于其導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)在定義域內(nèi)恒成立，即可判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅱ）利用函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性和最值研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，對(duì)f（x）求導(dǎo)，找到單調(diào)區(qū)間，確定最小值，要使函數(shù)f（x）在R上有2個(gè)零點(diǎn)，則只需f(x)最小=-e2+b＜0，即可得到b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+ax+b可知，函數(shù)的定義域?yàn)镽
又f'（x）=e^x+a，所以當(dāng)a＞0時(shí)，e^x+a＞0
從而f'（x）=e^x+a＞0在定義域內(nèi)恒成立．
所以，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=e^x+ax+b在定義域內(nèi)為增函數(shù)．
（Ⅱ）當(dāng)a=-e²時(shí)，f（x）=e^x-e²x+b
所以f'（x）=e^x-e²，由f'（x）＞0可得e^x-e²＞0解得x＞2
由f'（x）＜0可得e^x-e²＜0解得x＜2，所以f（x）在區(qū)間（-∞，2]上為減函數(shù)
在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在R上有唯一的極小值點(diǎn)x=2
也是函數(shù)的最小值點(diǎn)，所以函數(shù)的最小值為f(x)最小=f(2)=e2-2e2+b=-e2+b
要使函數(shù)f（x）在R上有2個(gè)零點(diǎn)，則只需f(x)最小=-e2+b＜0，即b＜e²
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-∞，e²）

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問(wèn)題，是函數(shù)這一章最基本的知識(shí)，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．