Question

（理）已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+a-1在區(qū)間[0，1]上的最大值為1，則a的值為________．

Answer 1

1
分析：由已知中函數(shù)f（x）=-x²+2ax+a-1的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，我們可以判斷出函數(shù)f（x）=-x²+2ax+a-1的圖象是以直線x=a為對(duì)稱軸，且開口朝下的拋物線，分a≤0，a≥1，0＜a＜1三種情況，討論函數(shù)f（x）=-x²+2ax+a-1在區(qū)間[0，1]上的最大值，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．
解答：∵函數(shù)f（x）=-x²+2ax+a-1的圖象是以直線x=a為對(duì)稱軸，且開口朝下的拋物線
a≤0時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)減，最大值為f（0）=a-1=1，a=2（舍去）
a≥1時(shí)，f（x）在[0，1]上單調(diào)增，最大值為 f（1）=3a-2=1，a=1
0＜a＜1時(shí)，f（x）在[0，1]上的最大值為f（a）=a²+a-1=1，a=1或-2（舍去）
綜上：a=1
故答案為：1
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中分類討論是解答本題的方法，在處理此類問題時(shí)，要分區(qū)間在對(duì)稱軸左側(cè)，區(qū)間在對(duì)稱軸右側(cè)和區(qū)間在對(duì)稱軸兩側(cè)，三種情況．