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        1. 如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E,F(xiàn),G,H分別為四邊的中點(diǎn),且都在坐標(biāo)軸上,設(shè)(λ≠0).
          (Ⅰ)求直線EP與GQ的交點(diǎn)M的軌跡Γ的方程;
          (Ⅱ)過圓x2+y2=r2(0<r<2)上一點(diǎn)N作圓的切線與軌跡Γ交于S,T兩點(diǎn),若,試求出r的值.

          【答案】分析:(Ⅰ)交軌法:設(shè)M(x,y),由向量關(guān)系可得P、Q點(diǎn)的坐標(biāo),用λ表示出直線EP、GQ的方程,消掉參數(shù)λ即得點(diǎn)M的軌跡方程;
          (Ⅱ)由,得|NS||NT|=|ON|2,又由ON⊥ST,得OS⊥OT,設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2),則x1x2+y1y2=0(*),設(shè)直線ST:y=kx+m(m≠±2),與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程,把韋達(dá)定理代入(*得)式得關(guān)于k,m的方程;再由直線ST與圓相切得r=,兩方程聯(lián)立即可求得r值;
          解答:解:(I)設(shè)M(x,y),由已知得P(4λ,0),Q(4,2-2λ),
          則直線EP的方程為y=-2,直線GQ的方程為y=-+2,
          消去λ即得M的軌跡Γ的方程為
          (II)由,得|NS||NT|=|ON|2,又ON⊥ST,則OS⊥OT,
          設(shè)直線ST:y=kx+m(m≠±2),代入得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,
          設(shè)S(x1,y1),T(x2,y2),
          ,
          由OS⊥OT得x1x2+y1y2=0,即km(x1+x2)+(1+k2)x1x2+m2=0,
          則5m2=16(1+k2)①,
          又O到直線ST的距離為r=②,
          聯(lián)立①②解得r=∈(0,2).
          經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)直線ST的斜率不存在時也滿足.
          故r的值為
          點(diǎn)評:本題考查交軌法求軌跡方程、橢圓方程、直線與圓位置關(guān)系及直線與橢圓的位置關(guān)系等知識,考查方程思想,考查學(xué)生解決問題的能力,解決(II)問的關(guān)鍵是根據(jù)條件分析出OS⊥OT,從而得到等量關(guān)系.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點(diǎn),EP⊥平面ABCD.
          (1) 求證:AQ∥平面CEP;
          (2) 求證:平面AEQ⊥平面DEP.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E為AB的中點(diǎn),現(xiàn)將△AED沿DE折起,使點(diǎn)A到點(diǎn)P處,滿足PB=PC,設(shè)M、H分別為PC、DE的中點(diǎn).
          (1)求證:BM∥平面PDE;
          (2)線段BC上是否存在一點(diǎn)N,使BC⊥平面PHN?試證明你的結(jié)論;
          (3)求△PBC的面積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在矩形ABCD中,AB=3
          3
          ,BC=3,沿對角線BD將BCD折起,使點(diǎn)C移到點(diǎn)C′,且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
          (1)求證:BC′⊥面ADC′;
          (2)求二面角A-BC′-D的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=1,E、F分別是AB的兩個三等分點(diǎn),AC,DF相交于點(diǎn)G,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系:
          (1)若動點(diǎn)M到D點(diǎn)距離等于它到C點(diǎn)距離的兩倍,求動點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積;
          (2)證明:E G⊥D F.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在矩形ABCD中,AB=
          12
          BC,E為AD的中點(diǎn),將△ABE沿BE折起,使平面ABE⊥平面BCDE.
          (1)求證:CE⊥AB;
          (2)在線段BC上找一點(diǎn)F,使DF∥平面ABE.

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          同步練習(xí)冊答案