Question

（2013•資陽(yáng)二模）如圖，A、B分別是射線OM、ON上的點(diǎn)，給出下列以O(shè)為起點(diǎn)的向量：①

OA

+2

OB

；②

1

2

OA

+

1

3

OB

； ③

3

4

OA

+

1

3

OB

；④

3

4

OA

+

1

5

OB

；⑤

3

4

OA

+

BA

+

2

3

OB

．其中終點(diǎn)落地陰影區(qū)域內(nèi)的向量的序號(hào)是

①③

（寫(xiě)出滿足條件的所有向量的序號(hào)）．

Answer 1

分析：利用向量共線的充要條件可得：當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，存在唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)u，v，使得

OP

=u

OA

+v

OB

成立，且u+v=1．可以證明當(dāng)點(diǎn)P位于陰影區(qū)域內(nèi)的充要條件是：滿足

OP

=u

OA

+v

OB

，且u＞0，v＞0，u+v＞1．據(jù)此即可判斷出答案．

解答：解：由向量共線的充要條件可得：當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，存在唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)u，v，使得

OP

=u

OA

+v

OB

成立，且u+v=1．
可以證明當(dāng)點(diǎn)P位于陰影區(qū)域內(nèi)的充要條件是：滿足

OP

=u

OA

+v

OB

，且u＞0，v＞0，u+v＞1．
證明如下：如圖所示，點(diǎn)P是陰影區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥ON，PF∥OM，分別交OM，ON于點(diǎn)E，F(xiàn)；
PE交AB于點(diǎn)P^′，過(guò)點(diǎn)P^′作P^′F^′∥OM交ON于點(diǎn)F^′，
則存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)（x，y），（u^′，v^′），使得

OP′

=x

OE

+y

OF′

=u′

OA

+v′

OB

，且u^′+v^′=1，u^′，v^′唯一；
同理存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x^′，y^′使得

OP

=x′

OE

+y′

OF

=x′

OE

+y″

OF′

=u

OA

+v

OB

，
而x^′=x，y^″＞y，
∴u=u^′，v＞v^′，
∴u+v＞u^′+v^′=1．
即可判斷出①∵1+2＞1，∴點(diǎn)P位于陰影區(qū)域內(nèi)，故正確；同理③正確；
而②④不正確；
⑤原式=

3

4

OA

+(

OA

-

OB

)+

2

3

OB

=

7

4

OA

-

1

3

OB

，而-

1

3

＜0，故不符合條件．
綜上可知：只有①③正確．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量共線的充要條件：當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，存在唯一的一對(duì)有序?qū)崝?shù)u，v，使得

OP

=u

OA

+v

OB

成立，且u+v=1；及當(dāng)點(diǎn)P位于陰影區(qū)域內(nèi)的充要條件是：滿足

OP

=u

OA

+v

OB

，且u＞0，v＞0，u+v＞1．據(jù)此即可判斷出答案．是解題的關(guān)鍵．