Question

已知函數(shù)
（1）若x₁=-2和x₂=4為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x₁=-2和x₂=4為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，建立方程組，求解即可．
（2）根據(jù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)轉(zhuǎn)化成f'（x）=x²+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立．再利用線性規(guī)劃的方法求出a²+b²的最小值．
解答：解：（1）∵∴f'（x）=x²+ax-b（2分）
又x₁=-2和x₂=4為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)
∴-2，4是方程x²+ax-b=0的兩個(gè)根

∴（4分）
（2）∵f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)∴f'（x）=x²+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立．
∴


∴a²+b²的最小值為A到原點(diǎn)O的距離的平方，即（-2）²+3²=13
∴a²+b²的最小值為13（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及根據(jù)單調(diào)性研究參數(shù)的范圍，屬于中檔題．