Question

已知圓x²+y²=4內一定點M（0，1），經(jīng)M且斜率存在的直線交圓于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，過點A、B分別作圓的切線l₁，l₂．設切線l₁，l₂交于點Q．
（1）設點P（x，y）是圓上的點，求證：過P的圓的切線方程是
（2）求證Q在一定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）當P不在坐標軸上時，求得切線的斜率，用點斜式求得切線方程，當P在x、y軸上時，經(jīng)檢驗也滿足，從而得出結論．
（2）設直線AB的方程為y=kx+1，代入x²+y²=4得（1+k²）x²+2kx-3=0，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及（1）的結論求得Q（x，y）的坐標，可得Q（x，y）的坐標滿足直線y=4的方程，從而得出結論．
解答：解：（1）當P不在坐標軸上時，OP的斜率為，故切線的斜率為，故切線方程為 ，
又，可得 ．
當P在y軸上時，P（0，2）或P（0，-2），此時切線方程為y=2或y=-2，上述方程也滿足．
同理可得，當P在x上時上述方程也滿足，
綜上，原命題得證．
（2）設直線AB的方程為y=kx+1，
代入x²+y²=4得（1+k²）x²+2kx-3=0，∴（定值）．
設Q（x，y），，解得．
把y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1代入得：y=4，x=-4k．
故Q在一定直線y=4上．
點評：本題主要考查求圓的切線方程，一元二次方程根與系數(shù)的關系，直線過定點問題，屬于中檔題．