Question

甲、乙、丙三人參加了一家公司招聘面試，甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約，設每人面試合格的概率都是

1

2

，且面試是否合格互不影響．
（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人面試合格的概率；
（2）求簽約人數(shù)的期望和方差．

Answer 1

分析：（1）設“A、B、C分別表示甲、乙、丙面試合格”，得出P(A)=P(B)=P(C)=

1

2

，由于事件“甲、乙、丙三人中至少有一人面試合格”對立事件是“都不合格”，此事件的概率易求，故利用概率的性質(zhì)先求對數(shù)事件的概率再求所研究事件的概率；
（2）設ξ代表簽約人數(shù)，則有ξ=0，1，2，3分別求出ξ=0，1，2，3的概率，列出分布列，由公式求出期望，方差．

解答：解：（1）設“A、B、C分別表示甲、乙、丙面試合格”事件則P(A)=P(B)=P(C)=

1

2

三人都不合格的概率P=(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=(

1

2

)3=

1

8

∴至少有一人合格的概率P=1-P(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=

7

8

（4分）
（2）設ξ代表簽約人數(shù)，則有ξ=0，1，2，3
∴P(ξ=0)=P(

.

A

•B•

.

C

)+P(

.

A

•

.

B

•C)+P(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=

3

8

P(ξ=1)=P(A•

.

B

•

.

C

)+P(A•

.

B

•C)+P(A•B•

.

C

)=

3

8

P(ξ=2)=P(

.

A

•B•C)=

1

8

P(ξ=3)=P(A•B•C)=

1

8

分布列

ξ	0	1	2	3
P	3 8	3 8	1 8	1 8

∴Eξ=1×

3

8

+2×

1

8

+3×

1

8

=

8

8

=1
Dξ=

3

i=0

(Eξ-ξi)2•pi=1（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，解量的關鍵是正確理解事件“甲、乙、丙三人中至少有一人面試合格”，再根據(jù)相互獨立事件的概率求法公式求出概率，第二小問中要根據(jù)概率乘法求出變量取各個可能值的概率，得出分布列，公分母利用公式求期望與方差，熟練記憶公式是快捷求出期望與方差的保證．