Question

已知點P為y軸上的動點，點M為x軸上的動點，點F（1，0）為定點，且滿足=，=0．
（Ⅰ）求動點N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點F且斜率為k的直線l與曲線E交于兩點A，B，試判斷在x軸上是否存在點C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出N點的坐標，由已知條件可知P為MN的中點，由題意設(shè)出P和M的坐標，求出和的坐標，代入•可求動點N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系寫出A，B兩點的縱坐標的和與積，假設(shè)存在點C（m，0）滿足條件，則，由
|CA|²+|CB|²=|AB|²成立得到，代入坐標后得到關(guān)于m的一元二次方程，分析知方程有解，從而得到答案．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)N（x，y），則由，得P為MN的中點．
∴，M（-x，0）．
∴，．
∴，即y²=4x．
∴動點N的軌跡E的方程y²=4x．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），由，消去x得．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 ，y₁y₂=-4．
假設(shè)存在點C（m，0）滿足條件，則，，
∴
=
=
=．
∵，
∴關(guān)于m的方程有解．
∴假設(shè)成立，即在x軸上存在點C，使得|CA|²+|CB|²=|AB|²成立．
點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問題是考查的中點，常和弦長問題、存在性問題結(jié)合考查，解答時往往采用“設(shè)而不求”的解題方法，借助于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，該種類型的問題計算量較大，要求學生有較強的運算能力，是難題．