Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（-2，2），導函數(shù)為f′（x）=2+cosx，且f（0）=0，則滿足f（1+x）+f（x-x²）＞0的實數(shù)x的取值范圍為（　�。�

• A．（-1，1）
• B．（-1，1+

  2

  ）
• C．（1-

  2

  ，1）
• D．（1-

  2

  ，1+

  2

  ）

Answer 1

分析：由導函數(shù)可求原函數(shù)f（x），判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性和奇偶性，利用奇偶性將不等式f（1+x）+f（x-x²）＞0轉(zhuǎn)化成f（1+x）＞f（x²-x），利用單調(diào)性去掉函數(shù)符號f 即可解得所求，注意自變量本身范圍．

解答：解：∵f'（x）=2+cosx，知f（x）=2x+sinx+c，而f（0）=0，∴c=0．
即f（x）=2x+sinx，易知此函數(shù)是奇函數(shù)，且在整個區(qū)間單調(diào)遞增，
因為f'（x）=2+cosx在x∈（0，2）恒大于0，
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，在其對應區(qū)間上亦是單調(diào)遞增的．
由 f（1+x）+f（x-x²）＞0 可得 f（1+x）＞-f（x-x²），即：f（1+x）＞f（x²-x）．

-2＜1+x ＜2 -2＜x2-x ＜2 1+x＞x2-x

，解得解得：x∈（1-

2

，1），
故選C．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，同時考查了計算能力，屬于中檔題．