Question

已知點O（0，0）、Q₀（0，1）和點R₀（3，1），記Q₀R₀的中點為P₁，取Q₀P₁和P₁R₀中的一條，記其端點為Q₁、R₁，使之滿足（|OQ₁|-2）（|OR₁|-2）＜0，記Q₁R₁的中點為P₂，取Q₁P₂和P₂R₁中的一條，記其端點為Q₂、R₂，使之滿足（|OQ₂|-2）（|OR₂|-2）＜0．依次下去，得到P₁，P₂，…，P_n，…，則

lim

n→∞

|Q0Pn|=

 

．

Answer 1

分析：由題意（|OQ₁|-2）（|OR₁|-2）＜0，（|OQ₂|-2）（|OR₂|-2）＜0．依次下去，則Q₁、R₁；Q₂、R₂，…中必有一點在（

3

， 1）的左側(cè)，一點在右側(cè)，根據(jù)題意推出P₁，P₂，…，P_n，…，的極限為：（

3

， 1），然后求出

lim

n→∞

|Q0Pn|．

解答：解：由題意（|OQ₁|-2）（|OR₁|-2）＜0，所以第一次只能取P₁R₀一條，（|OQ₂|-2）（|OR₂|-2）＜0．依次下去，則Q₁、R₁；Q₂、R₂，…中必有一點在（

3

， 1）的左側(cè)，一點在右側(cè)，由于P₁，P₂，…，P_n，…，是中點，根據(jù)題意推出P₁，P₂，…，P_n，…，的極限為：（

3

， 1），所以

lim

n→∞

|Q0Pn|=|Q₀P₁|=

3

，
故答案為：

3

．

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查數(shù)列的極限，數(shù)列與解析幾何的綜合，極限的思想的應(yīng)用，注意分析題意，P_n的規(guī)律是本題解答的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力．