Question

【題目】已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為.

（1）求軌跡的方程

（2）若軌跡上存在兩個不同點，關(guān)于直線對稱，求面積的最大值（為坐標原點）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)在圓內(nèi)，所以圓內(nèi)切于圓，則有，即，根據(jù)橢圓的定義，可知點的軌跡是橢圓再求解.

（2）根據(jù)，關(guān)于直線對稱，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，得，根據(jù)直線與橢圓有兩個不同的交點，，的中點在直線上，得到 的取值范圍，再利用 求解.

(1)因為在圓內(nèi)，所以圓內(nèi)切于圓，

所以

即，

所以點的軌跡是以和為焦點，長軸長為的橢圓，

因為，，所以，

所以點的軌跡方程為：；

（2）由題意知，可設(shè)直線的方程為，

由消去，得，

因為直線與橢圓有兩個不同的交點，所以，①

所以中點，代入直線方程，解得，②

由①②解得，或，

令，則，

且到直線的距離為，

設(shè)的面積為，

所以，當且僅當時，等號成立，

所以面積的最大值為.