Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓 上任意一點(diǎn)，且的最小值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）動(dòng)圓與橢圓相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

【解析】

試題分析：（1）由于（定值）這個(gè)條件并結(jié)合余弦定理以及的最小值為這個(gè)條件可以求出的值，并由已知條件中的值可以求出，并最終求出橢圓的方程；（2）先設(shè)出、、、中其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)這四點(diǎn)之間的相互對(duì)稱性將四邊形的面積用該點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行表示，結(jié)合這一條件將面積轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的求最值的思想求出四邊形面積的最大值，并可以求出對(duì)應(yīng)的值.

試題解析：（1）因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn)，所以.

在△中，，由余弦定理得

.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054205024625989_DA.files/image025.png">，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054205024625989_DA.files/image027.png">，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054205024625989_DA.files/image029.png">的最小值為，所以，解得.

又，所以.所以橢圓C的方程為.

（2）設(shè)，則矩形ABCD的面積.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054205024625989_DA.files/image038.png">，所以.

所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054205024625989_DA.files/image041.png">且，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值24.

此時(shí)，.

所以當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

考點(diǎn)：橢圓的定義、余弦定理、二次函數(shù)