Question

（本小題滿分12分）

如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，．

（Ⅰ）求證：BE//平面ADF；

（Ⅱ）若矩形ABCD的一個(gè)邊AB =，EF =，則另一邊BC的長為何值時(shí)，二面角B-EF-D的大小為450？

 

 

 

Answer 1

【答案】

分12分）

解（Ⅰ）法1：過點(diǎn)E作CD的平行線交DF于點(diǎn)M，連接AM．

因?yàn)镃E//DF，所以四邊形CEMD是平行四邊形．可得EM = CD且EM //CD，于是四邊形BEMA也是平行四邊形，所以有BE//AM，而直線BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF．                                    ——————6分

法2：以直線DA為x軸，直線DC為y軸，直線DF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則平面ADF的一個(gè)法向量為．

設(shè)AB = a，BC = b，CE = c，則點(diǎn)B、E的坐標(biāo)分別為（b，a，0）和（0，a，c），那么向量．可知，得，而直線BE在平面ADF的外面，所以BE//平面ADF．

（Ⅱ）由EF =，EM = AB =，得FM = 3且．

由可得FD = 4，從而得CE =1．     ——————8分

設(shè)BC = a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，，0）．又點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（0，，1）和（0，0，4），所以，．

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為，則，解得一組解為，所以．                  ——————10分

易知平面DEF的一個(gè)法向量為，可得

      

由于此時(shí)就是二面角B-EF-D的大小，所以，可得．

所以另一邊BC的長為時(shí)，二面角B-EF-D的大小為450．————12分

 

【解析】略