Question

12、已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），則下列命題：
①若f（x-1）=f（1-x）恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1的對(duì)稱(chēng)；
②若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)y=f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
④函數(shù)y=-f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
⑤若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，則函數(shù)y=f（x）以4為周期．
其中真命題的有（　　）

A、①④

B、②③

C、②⑤

D、③⑤

Answer 1

分析：利用函數(shù)的基本性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心，周期，分別對(duì)選項(xiàng)驗(yàn)證，判定正誤即可．

解答：解：①由f（x-1）=f（1-x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng)，故①錯(cuò)．
②f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（1，0）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②正確．
③函數(shù)y=f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)；③錯(cuò)．
④函數(shù)y=-f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱(chēng)；④錯(cuò)．
⑤若f（1+x）+f（x-1）=0恒成立，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則函數(shù)y=f（x）以4為周期．正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)的周期性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，是基礎(chǔ)題．