Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），點(diǎn)P（

8

5

，

4

5

），線段OP的垂直平分線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，經(jīng)過(guò)F作兩條互相垂直的弦AB、CD、，設(shè)AB、CD的重點(diǎn)分別為M、N
（1）求拋物線的方程；
（2）直線MN是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由p（

8

5

，

4

5

），O（0，0），得到直線OP的k斜率：K_OP=

1

2

，從而得出OP的垂直平分線所在直線方程，最后令y=0，可得：p=2，從而寫出拋物線方程即可；
（2）假設(shè)直線MN過(guò)定點(diǎn)，設(shè)A（x_A，y_A），B （x_B，y_B），M（x_M，y_M），設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得直線MN的方程，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）由p（

8

5

，

4

5

），O（0，0），
∴k_OP=

1

2

，線段OP的中點(diǎn)為：（

4

5

，

2

5

），
∴OP的垂直平分線所在直線方程y-

2

5

=-2(x-

4

5

)，即2x+y-2=0．
令y=0，解得：x=1，故得：p=2
拋物線方程為：y²=4x…..（4分）
（2）假設(shè)直線MN國(guó)定點(diǎn)
設(shè)A（x_A，y_A），B （x_B，y_B），M（x_M，y_M），
設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-1）
與拋物線聯(lián)立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達(dá)定理：x_A+x_B=2+

4

k 2

∴x_M=

2

k 2

+1
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

2

k 2

+1，-2k）
當(dāng)k≠±1
直線MN的斜率為：

k

1-k 2

方程為：y+2k=

k

1-k 2

（x-2k²-1
整理得：y（1-k²）=k（x-3）
直線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3，0）
當(dāng)k=±1時(shí)，直線MN方程為X=3，經(jīng)過(guò)（3，0）
綜上，不論k為何值，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（3，0）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了考生分析推理和基本的運(yùn)算能力．