Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意a、b∈R，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，試比較f（a）與f（b）的大小關(guān)系；
（2）若f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a＞b，得

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，能得到f（a）＞f（b）．
（2）由f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，利用奇偶性、單調(diào)性可把f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0中的符號(hào)“f”去掉，分離出參數(shù)k后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可解決．

解答：解：（1）∵對(duì)任意a，b，當(dāng)a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
∴

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，
∵a＞b，∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）；
（2）由（1）知f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
又f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0，得f（9^x-2•3^x）＞-f（2•9^x-k）=f（k-2•9^x），
故9^x-2•3^x＞k-2•9^x，即k＜3•9^x-2•3^x，
令t=3^x，則t≥1，
所以k＜3t²-2t，而3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

在[1，+∞）上遞增，所以3t²-2t≥3-2=1，
所以k＜1，即所求實(shí)數(shù)k的范圍為k＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解函數(shù)恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用．