Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F（0，2），且與定直線(xiàn)L：y=-2相切．
（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（II）若AB是軌跡C的動(dòng)弦，且AB過(guò)F（0，2），分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線(xiàn)，設(shè)兩切線(xiàn)交點(diǎn)為Q，證明：AQ⊥BQ．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得：動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)（0，2）與到定直線(xiàn)y=-2的距離相等，利用拋物線(xiàn)的定義求軌跡方程即可；
（II）設(shè)AB：y=kx+2，將直線(xiàn)的方程代入拋物線(xiàn)的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用切線(xiàn)的幾何意義即可求得過(guò)拋物線(xiàn)上A、B兩點(diǎn)的切線(xiàn)斜率關(guān)系，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（I）依題意，圓心的軌跡是以F（0，2）為焦點(diǎn)，L：y=-2為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)上（2分）
因?yàn)閽佄锞�(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離等于4，所以圓心的軌跡是x²=8y（5分）
（II）∵直線(xiàn)AB與x軸不垂直，設(shè)AB：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（6分）
x²-8kx-16=0，x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16（8分）
拋物線(xiàn)方程為．
所以過(guò)拋物線(xiàn)上A、B兩點(diǎn)的切線(xiàn)斜率分別是
，，
所以，AQ⊥BQ
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，以及拋物線(xiàn)定義的應(yīng)用，體現(xiàn)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．定義法  若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、圓等），可用定義直接探求．