Question

如圖所示，矩形ABCD的對角線交于點G，AD⊥平面ABE，AE=2

3

，EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求三棱錐C-BGF的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AD⊥平面ABE，AD∥BC可得BC⊥平面ABE，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AE⊥BC，根據(jù)BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，而BC∩BF=B，滿足線面垂直的判定定理，從而證得結(jié)論；
（2）根據(jù)AE⊥BE，AE⊥BF，BE∩BF=B，滿足線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE，而AE∥FG則FG⊥平面BCF，從而FG為三棱錐G-BCF的高，然后求出三角形BCF的面積，根據(jù)三棱錐的體積公式解之即可．

解答：證明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，
又∵AE?平面ABE
∴AE⊥BC（2分）
又∵BF⊥平面ACE，而AE?面ACE，則AE⊥BF，
∵BC∩BF=B，BC，BF?平面BCE
∴AE⊥平面BCE（5分）
解：（2）∵AE∥平面BFD，
∴AE∥FG，
又∵AE⊥BE，AE⊥BF，BE∩BF=B
∴AE⊥平面BCE，即FG⊥平面BCF
則FG為三棱錐G-BCF的高，
∵G是AC的中點，F(xiàn)是CE的中點
∴FG=

1

2

AE=

3

∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥CE
在直角三角形BCE中，BF=

1

2

CE=CF=

2

∴S_△BCF=

1

2

2

×

2

=1
三棱錐C-BGF的體積V=

1

3

S_△BCF•FG=

3

3

---------（12分）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及棱錐的體積的轉(zhuǎn)化，難度中檔．