Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件：f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個相等的實數根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）是否存在實數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（2）=0∴4a+2b=0 ①
又方程f（x）=x有等根，即ax²+bx-x=0的判別式為零
∴（b-1）²=0
∴b=1
代入①a=-
∴f（x）=
（2）
∴函數的對稱軸為x=1
∴當x=1時，函數取得最大值為；
當x=-3時，函數取得最小值為；
（3）∵，f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，
∴
∴
而f（x）=的對稱軸為x=1，
∴當n≤時，f（x）在[m，n]上為增函數．
若滿足題設條件的m，n存在，則
即
∴
∵m＜n≤．
∴m=-2，n=0，這時，定義域為[-2，0]，值域為[-4，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．
分析：（1）由方程f（x）=x有兩個相等的實數根，則△=0，得b，又由f（2）=0，可求a，從而求得f（x）．
（2）先配方確定函數的對稱軸，從而可求函數在區(qū)間[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）由的最大值，確定n≤，從而知當n≤時，f（x）在[m，n]上為增函數．若滿足題設條件的m，n存在，則，從而可求m，n的值．
點評：本題以二次函數為載體，考查函數與方程的綜合運用，考查二次函數解析式的常用解法及分類討論，轉化思想，充分利用二次函數的性質是解題的關鍵．